El pequeño teorema de Fermat a la navegación en webs seguras.

México D.F a 15 de Abril del 2011

Hoy les voy a colocar una info que tal vez a muchos le vanga valiendo, pero esto solo es para ejemplificar que tan complejo se esta volviendo solo hablar de cambiar  de http:// a https:// , esto no es para que me digan que tengo que hacer la comprobación matemática dos veces más, si no para compartirles algo que se me ha hecho fascinante….

A pesar de ser abogado, Pierre de Fermat mantuvo una intensa actividad como «matemático amateur«. Al igual que con su otra conjetura más famosa, tampoco demostró el teorema del que quiero hablar hoy, alegando en una carta que «te mandaría la demostración si no temiera que es demasiado larga».

Se llama pequeño teorema de Fermat a la siguiente afirmación:

Sea p un número primo y a un entero cualquiera. Entonces, el resto de dividir aelevado a p-1 entre p es igual a 1. Es decir:

a^p-1 = 1 mod p

Lo de «x mod y» quiere decir «el resto de dividir x entre y», es una notación común cuando se habla de aritmética modular.

Pues bien, éste teorema (y algo más) sirven para demostrar los fundamentos matemáticos en que se basa la navegación segura en webs hoy día.

Cuando navegamos, estamos viendo páginas, imágenes, etc. que no son más que una sucesión de números. Normalmente, esos números se mandan atravesando diversas redes hasta llegar a nuestro ADSL, Wifi o red 3G, y un navegador las representa en su forma de texto o imagen.

Como dichos datos pasan por muchas redes intermedias, e incluso por el aire si usamos un smartphone o una red Wifi, el acceso a material confidencial o el uso de números de tarjetas de crédito sería muy inseguro si no se usara algún tipo de cifrado.

El cifrado que se usa hoy día para navegación segura se llama RSA (por las siglas de sus inventores Rivest, Shamir y Adleman) y es un algoritmo de clave pública: esto quiere decir que se emplean dos claves:

• Clave privada: Usada por el servidor para descifrar datos que se dirijan a él. Es fundamental que esta clave no sea divulgada.
• Clave pública: La conoce todo dios, y se usa para cifrar mensajes que, entonces, sólo el que tiene su clave privada correspondiente sabe descifrar.

Es decir, cada clave privada tiene asociado su clave pública compañera. Van en parejas. ¿Por qué no se usan algoritmos de una sola clave? Está claro: si necesitamos enviar algo a un servidor, todo el mundo debería saber su clave, que al ser la misma que la usada para descifrar, no proporcionaría mucha seguridad que digamos.

El funcionamiento de RSA se puede resumir así: para generar un par de claves, lo primero es elegir (al azar) dos números primos muy grandes, p y q. Cuanto más gordos sean mejor, ya que la seguridad del método se basa precisamente en que factorizar números grandes es muy difícil.

Con respecto a las claves (que no son mas que números), llamaremos e a la clave púbica y d a la privada. Primero se escoge un valor para d que sea primo con respecto a (p-1)(q-1), y a partir de él existe una fórmula para calcular un valor de e (clave pública) tal que cumpla:

de = 1 mod (p-1)(q-1)

Ahora entra en juego el mensaje que queremos enviar desde nuestro cliente al servidor. Dicho mensaje informático siempre se podrá representar como un número muy grande (una ristra de 0s y 1s). En este caso, el máximo valor del número será pq, pero si se necesita enviar algo más grande simplemente se puede trocear y enviar un número más pequeño cada vez.

Llamamos a este mensaje M. Pues bien, RSA se basa en que si el mensaje cifrado C se obtiene elevando el mensaje al número que representa la clave pública y nos quedamos con el resto de dividir entre pq:

C = M^e mod pq

Podemos recuperar el mensaje original volviendo a elevar (de nuevo modularmente con respecto a pq) el mensaje cifrado por la clave privada d:

C^d = M^ed mod pq = M

Vamos a demostrar esto último partiendo del pequeño teorema de Fermat.

Como sabemos (por hipótesis) que

de = 1 mod (p-1)(q-1)

entonces para algún entero k tenemos:

de = 1 + k (p-1)(q-1)

por lo que el mensaje cifrado y descifrado (obviando por ahora la parte modular), es:

C^d = M^ed = M^{1+ k (p-1)(q-1)}

Jugando con el exponente de M:

M^ed = M^{1+ k (p-1)(q-1)} = M · M ^{k (p-1)(q-1)} =M · (M ^(p-1)(q-1))^k

Aplicamos ahora el pequeño teorema de Fermat, en las formas:

M^p-1 = 1 mod p

M^q-1 = 1 mod q

Para obtener las relaciones:

M^ed = M · (M ^(p-1)(q-1))^k = M · (M ^(p-1))^k(q-1) = M · (1)^k(q-1) mod p= M mod p

y

M^ed = M · (M ^(p-1)(q-1))^k = M · (M ^(q-1))^k(p-1) = M · (1)^k(p-1) mod p= M mod q

, respectivamente.

Ya sólo nos falta aplicar el teorema chino del resto, que nos dice que si el resto de dividir un número entre dos divisores distintos da el mismo resto, entonces obtendríamos el mismo resto al dividir por el producto de los divisores. En notación modular:

Teorema chino del resto: Sean dos primos relativos p y q. Para cualquier entero a que cumpla a = b mod p y a = b mod q, entonces tenemos que a = b mod pq.

Aplicando este resultado a las últimas dos ecuaciones de arriba:

M^ed = M mod pq

, es decir, que elevando (módulo pq) cualquier mensaje a la clave pública (e) y luego a la clave privada (d), obtenemos el mensaje original, quod erat demonstrandum.

Todo esto, y mucho más, es lo que hay detrás de ese icono del candado que aparece en los navegadores cada vez que visitamos una página con un https:// en lugar del inseguro http://.

Como la ven interesante no…..

By: 

Carlos Valenica

Fuente:

http://ciencia-explicada.blogspot.com/2011/04/del-pequeno-teorema-de-fermat-la.html

¿Por qué salen los ojos rojos en las fotos?

4 de Febrero del 2011, Toluca, Estado de México.

Hola a todos, debido a que en esta ocasión me encuentro en búsqueda de empleo o más bien desempleado por el momento, cuento con un poco más de tiempo que lo habitual, por lo cual me he puesto a investigar sobre diferentes temas de tecnología y me encontré con algo que se me ha hecho muy interesante en un blog español de América Valenzuela al final pongo la fuente del articulo.

Para ver, necesitamos luz y esta entra hasta el fondo del ojo y choca con la retina, que está llena de células fotosensibles que transforman este estímulo en impulsos nerviosos, estos llegan a nuestro cerebro que los interpreta y es entonces cuando somos conscientes de la imagen que tenemos delante. En definitiva, vemos.

El color rojo de los ojos es el efecto del reflejo de la luz en los vasos sanguíneos que irrigan la retina, suele ocurrir cuando se dispara con flash en ambientes oscuros.

En estas condiciones de luz tenue, la pupila está muy abierta para que entre hasta el fondo la poca luz que hay, el repentino chorro de luz del flash entra por sorpresa al órgano que no cierra la pupila a tiempo. Los ojos azules sufren este efecto mucho más a menudo que los oscuros. Esto es así porque los ojos oscuros tienen más pigmentos al fondo que absorben la luz y atenúan el reflejo.

Para evitarlo, “las cámaras compactas suelen tener una opción para evitar los ojos rojos”, explica el fotógrafo Rai Robledo. “Para ello, el flash parpadea un par de veces antes de lanzar el fogonazo grande y así el ojo se adapta a un ambiente con más luz y contrae la pupila”.
También se puede evitar con un flash externo. “Si la cámara tiene un flash elevado unos 10 centímetros sobre objetivo no suele haber problema de ojo rojo porque el chorro de luz no incide frontalmente”, apunta.

Muchos otros vertebrados también salen con los ojos ‘demoniacos’ en las fotos. Pero el color del reflejo de sus ojos no se limita al rojo. Su gama de colores es mucho más amplia, desde verde o amarillo a azul, rosa y blanco.

En el caso de los animales el motivo del reflejo de sus ojos no es el mismo que en los humanos. Ellos tienen una capa reflectora en el fondo de los ojos, justo detrás de la retina que se llama ‘tapetum’. Sirve para mejorar su visión nocturna.

Lo consigue haciendo que la luz pase dos veces por la retina. La luz procedente del exterior pasa por la retina, se refleja en esta capa, y vuelve a pasar por la retina en sentido opuesto. Así, los fotorreceptores de la retina tienen el doble de posibilidades de ser estimulados.

El color del ‘tapetum’ depende del animal y del color de su piel. Por ejemplo, los perros negros verde, un cocker canela lo tiene amarillo y un caballo marrón lo tiene azul… Los animales que no tienen el ‘tapetum’ pigmentado exhiben un reflejo de color rojo, como nosotros.

Bueno que les parece el artículo muy interesante aunque cabe mencionar que si ya tienes tus fotos con los ojos rojos y están en formato digital hay una gran cantidad de software que puede quitar este caso curioso, pero eso lo dejamos para otro articulo en este blog.

By: Carlos Valencia

Fuente: http://www.rtve.es/noticias/20110204/salen-ojos-rojos-fotos/401197.shtml?utm_term=Ciencia+y+Tecnolog%C3%ADa&utm_content=Ciencia&utm_source=twitterfeed&utm_medium=twitter

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By: Carlos Valencia

DIFERENCIAS ENTRE WINDOWS 32 BITS Y WINDOWS 64 BITS.

DIFERENCIAS ENTRE WINDOWS 32 BITS Y WINDOWS 64 BITS.

Vamos a ver que nos aporta Windows 64 bits y si merece la pena instalarlo en un PC de uso doméstico. Lo primero que hay que tener muy en cuenta es que para instalar un sistema operativo de 64 bits hay que tener un procesador de 64 bits y una placa base que lo admita de forma nativa. Actualmente quedan en el mercado muy pocos procesadores que sean de 32 bits (solo algunos de gama baja, normalmente para RMA o equipos de muy bajo precio) y la práctica totalidad de las placas base son de 64 bits, pero los equipos algo más antiguos (por ejemplo, P4 478) si que son de 32 bits. En primer lugar vamos a ver que ventajas tienen las versiones de 64 bits. La principal de todas es que las versiones de 64 bits suportan mucha más memoria (tanto RAM como virtual) que las versiones de 32 bits. Todos los sistemas operativos de 32 bits tienen un límite en la memoria RAM de 4Gb (que además, en el caso de Windows, no suelen aprovecharse completos). Esto en realidad para uso doméstico no es un gran obstáculo, ya que no es habitual instalar esa cantidad de memoria. Las versiones de 64 bits no tienen ese límite, por lo que podemos instalar bastante más memoria. La cantidad máxima de RAM soportada por las versiones de 64 bits de Windows son las siguientes: Windows XP Profesional 64 bits.- 16Gb de memoria RAM. Windows Vista Home Basic 64 bits.- 8Gb de memoria RAM. Windows Vista Home Premiun 64 bits.- 16Gb de memoria RAM. Windows Vista (Resto de versiones) de 64 bits.- – 128Gb de memoria RAM. Nota: Me falta checar para Windows 7 Como podemos ver, las cantidades de RAM son bastante mayores. Además de esta ventaja en la RAM, los sistemas operativos de 64 bits son algo más rápidos que los de 32 bits, más estables y más seguros. ¿Quiere decir esto que sea mucho mejor instalar Windows 64 bits que Windows 32 bits?. Pues hasta cierto punto no. Los SO de 64 bits están diseñados más para un uso profesional que doméstico. Estos sistemas tienen también una serie de inconvenientes para uso doméstico. En primer lugar, decir que en el caso del Windows XP 64 bits, le pasa exactamente lo mismo que al XP Media Center. Es la versión inglesa (EEUU) con MUI en español, lo que suele dar algunos problemas con actualizaciones y con algunos programas. Esto está solucionado en las versiones de 64 bits de Windows Vista, que si son en el idioma correspondiente. Además de este problema, las versiones de 64 bits tienen una serie de inconvenientes: – No son compatibles con programas de 16 bits o inferiores. – Algunos programas (como algunos antivirus, programas de grabación y similares), aunque son programas de 32 bits no son compatibles con Windows Vista 64 bits. – Hay problemas de drivers para 64 bits. – Los SO de 64 bits son más caros que los de 32 bits (aunque la diferencia de precio no es muy grande). En cuanto al sistema en sí (manejo, utilidades, etc.) son exactamente iguales a las versiones de 32 bits correspondientes. Hay que dejar bien claro otro punto: Un programa de 32 bits va a correr EXACTAMENTE IGUAL en un sistema operativo de 64 bits que en uno de 32 bits, por lo que en este aspecto no vamos a notar ninguna mejora. Hay algunos programas desarrollados para 64 bits, pero son programas profesionales que un usuario doméstico no va a utilizar normalmente. Conclusión: Para un uso particular la opción más interesante sigue siendo las versiones de 32 bits. Para un uso en empresas y profesional, dependiendo de las necesidades de memoria y de los programas que utilicemos si que son interesantes las versiones de 64 bits. By: Carlos Valencia.

Fuente:

http://www.tallerdigitalvw.com/faqas1/sistemas-operativos/diferencias-entre-windows-32-bits-y-64-bits.html